Знакомство с пространственными фигурами

Конспект урока по математике на тему "Развертки пространственных фигур"

знакомство с пространственными фигурами

Три ее основные составляющие (фигуры, логика и практическая Начальные понятия (знакомство с понятиями плоской и пространственной фигуры. обучающие: развитие пространственных представлений и пространственного воображения; знакомство с новыми пространственными фигурами. Обучение учащихся классов изображению пространственных фигур при Через знакомство мы выделяем свойства геометрических фигур.

Преподавателю колледжа требуется высокий профессионализм, чтобы не только не допустить снижения интереса к учению, но и значительно повысить. Геометрии как отдельной дисциплины в системе обучения в техническом колледже не существует. Тем не менее, именно геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей.

Геометрическое образование - фундамент, который формирует у человека стремление к наглядной интерпретации сложных явлений, воспитывает исследователя в области своих профессиональных знаний.

Недостаточный уровень геометрической подготовки студентов младших курсов базовый уровень в технических колледжах, на наш взгляд, определяется тремя основными причинами: Одной из важных проблем построения школьного курса геометрии является взаимоотношение двух разделов: История геометрического образования говорит о трех вариантах решения данной проблемы: Идея сближения или полного слияния планиметрии и стереометрии школьного курса геометрии лежит в основе фузио-нистской концепции.

Взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур является средством разрешения проблемы, связанной с искусственным разделением школьной геометрии на планиметрию и стереометрию.

Психологические особенности учащихся среднего школьного возраста указывают на то, что общепринятая практика формирования двумерных плоскостных образов ранее трехмерных пространственных образов нарушает естественный ход развития у обучаемых представлений о пространстве. Скорректировать прочно закрепленные приемы оперирования в основном плоскостными двумерными изображениями в процессе изучения стереометрии оказывается довольно трудным делом.

В последнее время многие учителя школ предпринимают попытки одновременного исследования плоских и пространственных объектов на занятиях. Но для того, чтобы полностью перестроить курс геометрии или создать альтернативные курсы, воспитать качественно новое поколение учащихся, необходимо время и единая методическая система для всех уровней обучения геометрии в школе.

Такой разработкой является курс геометрии для 6 классов В. Гусева [53 - 61]. В настоящее время обучение геометрическому материалу в технических колледжах должно осуществляться с учетом обеспечения преемственности между школьными знаниями учащихся о пространстве и знаниями, приобретаемыми в колледже, а также с учетом возможности сокращения максимальным образом разрыва между планиметрией и стереометрией.

Идея построения курса геометрии, основанного на взаимосвязанном изучении плоских и пространственных фигур, не является новой.

История развития фузионистского направления в российском и зарубежном школьном образовании подробно описана в работах И. Несмотря на это, реализации в научно-методической и учебной литературе по математике для средних специальных учебных заведений [11, 12, 65, 66, 70, ] она еще не нашла Большинство учебных пособий до сих пор сохранило классическую схему изложения стереометрического материала Результаты научно-методических работ Я.

Фрундина []исследующих вопрос использования идеи фузионизма в обучении, имеют своей целью совершенствование процесса преподавания геометрии в средней школе. Существует ряд диссертационных работ, посвященных проблемам обучения стереометрии в старшей школе с использованием планиметрического материала - исследования Б. Ходеева [] в своем исследовании рассматривает проблему использования идеи фузионизма при изучении многогранников в курсах планиметрии и стереометрии.

Она заключает, что изучение многогранников в средней и старшей школе на основе фузионистской концепции обеспечивает гармоничную реализацию двух методико-содержательных линий школьного курса геометрии, направленных на развитие логического и пространственного мышления. По нашему мнению, заключительный этап школьного курса геометрии является наиболее благоприятным для реализации идеи взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур.

Цель данного этапа изучения геометрии - накопление и систематизация общегеометрических синтез планиметрических и стереометрических знаний и умений, формирование представления о геометрии как о целостной системе.

знакомство с пространственными фигурами

Кроме того, взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур предполагает рассмотрение и систематизацию различных вариантов их взаимного расположения в пространстве.

В силу большего жизненного опыта старшим школьникам легче мыслить альтернативами. Необходимость взаимосвязи общеобразовательной и профессиональной подготовки в технических колледжах обусловлена спецификой этих учебных заведений, следовательно, обучение и математике геометрии, в частности должно содействовать установлению связи между общеобразовательными и профессиональными знаниями студентов.

Эта связь может быть опосредованной и заключаться в формировании с помощью геометрии отдельных свойств мышления, которые будут необходимы студентам как при изучении общепрофессиональных, специальных дисциплин колледжа, так и в будущей профессиональной деятельности. Противоречия между требованиями практики к уровню геометрического образования будущих специалистов и реально существующей подготовкой по геометрии в колледже, необходимость расширения возможностей для обеспечения связей общеобразовательных знаний с профессиональными и отсутствие методической базы для этого, важность обеспечения преемственности между школьным геометрическим образованием и обучением геометрии в технических колледжах, недостаточная разработанность проблемы взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур в теории и практике методики обучения геометрическому материалу в средних специальных учебных заведениях определяют выбор и актуальность темы данного исследования.

Проблема исследования состоит в выявлении и раскрытии возможных путей реализации взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур при обучении геометрическому материалу в технических колледжах базовый уровень.

Объектом данного исследования является процесс обучения геометрическому материалу студентов первых курсов технических колледжей. Предмет исследования состоит в разработке методических приемов и средств реализации взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур, обеспечивающих формирование геометрических знаний студентов технических колледжей. Цель исследования - выявление и обоснование особенностей содержания геометрического материала на первом курсе технических колледжей, реализующего взаимосвязанное изучение плоских и объемных фигур; разработка соответствующей методики обучения геометрии студентов колледжей технического профиля.

Анализ теоретических и практических аспектов рассматриваемой проблемы позволяет сформулировать гипотезу исследования: Проблема, предмет и гипотеза исследования определяют следующие задачи исследования: Теоретико-методологической базой диссертационного исследования являются: Брушлинский ; исследования проблемы использования идеи фузионизма в школьном образовании В.

Фрундин ; исследования проблемы развития пространственных представлений А. Каплунович, АД Глейзер, И. Якиманская ; исследования по проблеме усвоения математических понятий З.

Раев ; исследования проблем развития конструктивных умений и навыков учащихся В. Далингер ; интуиции А. В ходе решения поставленных задач использовались следующие методы: Практическая значимость исследования состоит в том, что разработаны блоки задач, лабораторные работы, методические рекомендации по организации геометрической деятельности студентов в условиях взаимосвязанного изучения свойств плоских и объемных фигур и обеспечения возможности дальнейшего использования полученных геометрических знаний и умений в освоении общепрофессиональных, специальных дисциплин колледжа.

Предложенный материал может быть использован в практике преподавания математики в образовательных учреждениях среднего профессионального звена, а также при обучении геометрии в старших классах средней школы. Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается: Апробация и внедрение результатов исследования проводились поэтапно в процессе проведения занятий на первых курсах технического колледжа г. Астрахань, колледжа строительства и экономики г.

Основные положения диссертации, результаты педагогического эксперимента и сделанные по ним выводы получили отражение на заседаниях цикловой комиссии математических и общих естественнонаучных дисциплин Астраханского технического колледжа, заседаниях городского методического объединения преподавателей математики колледжей, заседаниях кафедры математического анализа Астраханского государственного университета, а также в докладах: Нижний Новгород, г.

На первом этапе - г. Описывалось психолого-педагогическое обоснование эффективности использования идеи взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур при обучении геометрическому материалу студентов младших курсов средних специальных образовательных учреждений.

На втором этапе - г. На третьем этапе - г. Астрахань с целью проверки доступности и эффективности разработанных материалов и методики, основанной на выявлении взаимных связей между плоскими и пространственными фигурами. Обобщались экспериментальные и теоретические результаты.

На защиту выносятся следующие положения: Методика обучения геометрическому материалу в технических колледжах, основанная на взаимосвязанном изучении свойств плоских и пространственных фигур, способствует повышению уровня геометрических знаний студентов, четкому пониманию учащимися общих закономерностей построения курса геометрии, роли геометрии в познании окружающего мира.

Сущность этой методики состоит в рассмотрении геометрической фигуры как произвольного множества точек; в использовании плоских фигур для определения пространственных фигур; выявлении закономерностей изображения плоских и пространственных фигур; совместном изучении свойств многоугольников и многогранников, связанных с их триангуляцией и процессом построения сечений многогранников.

Органичное сочетание в структуре геометрической деятельности студентов конструктивного, интуитивного компонентов и идеи взаимосвязи свойств плоских и пространственных фигур в содержании геометрического материала позволяют обеспечивать связь общеобразовательных и профессиональных знаний студентов.

Это достигается за счет включения в геометрический материал конструктивных определений плоских и пространственных фигур; задач на конструирование фигуры плоской и пространственной ; лабораторных работ, предполагающих конструктивную работу с многогранниками, экспериментальное изучение параллельных проекций плоских и пространственных фигур. Эффективность применения разработанной методики изучения геометрического материала обеспечивается комплексом методических средств: Структура диссертации обусловлена логикой и последовательностью поставленных задач и состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии.

Построение конструктивных определений пространственных фигур с помощью плоских фигур. Анализ определений, используемых в школьном курсе стереометрии, показывает, что часто даются такие формулировки определений, которые не позволяют учащемуся распознавать соответствующие объекты.

Рассматривая данную проблему, В. Далингер [68] отмечает, что определения геометрических фигур должны быть составлены по принципу: Среди таких определений можно выделить те, в которых указывается способ построения конструирования определяемого объекта. Эффективность используемых в нашей методике конструктивных определений пространственных фигур обусловлена тем, что: Как было сказано выше, способами получения геометрической фигуры могут быть объединение и пересечение других фигур.

Поэтому для одной фигуры может существовать несколько конструктивных определений, поиск которых способствует выявлению ее многосторонних связей с другими плоскими и пространственными фигурами, формированию у студентов ее детального образа.

В дальнейшем это значительно упростит студентам процесс формулировки ее описательного определения и узнавание этой фигуры в новой или нестандартной ситуации. Очевидно, не все конструктивные определения фигуры можно дать на строгом научном уровне. Уровень строгости вводимых конструктивных определений геометрического понятия зависит от этапа его изучения. Мордкович [] считает, что формально-логическая строгость вывода не адекватна внутренней убедительности и во многих случаях препятствует развитию интуиции.

Он рекомендует варьировать уровни строгости, не забывая при этом пояснить студенту, в чем состоит нестрогость рассуждения или определения, когда это нестрого введенное понятие допускает нечеткость или неоднозначность восприятия. Важной методической особенностью работы по формированию умений студентов определять фигуры конструктивным методом является соблюдение последовательности всех этапов процесса усвоения понятий: В решении данной проблемы мы опираемся на принципы обучения геометрии, сформулированные А.

Анализ традиционных учебников по геометрии для средних специальных учебных заведений выявляет существенный недостаток - очевидный разрыв между накопленным в школе геометрическим опытом обучаемого и материалом, изложенным в этих пособиях. Кроме того, множество определений, плохо мотивированных, не укладывающихся в схему связей между геометрическими понятиями и нередко делающих определяемые понятия неузнаваемыми, никак не способствуют возникновению наглядных представлений о самих понятиях и о геометрической науке в целом.

В учебнике под редакцией Г. Яковлева [] вводится определение выпуклого многогранника как ограниченного выпуклого множества открытого или замкнутого точек пространства. Данное определение содержит весомое количество других, также определяемых вспомогательных понятий: Практика показывает, что каждое из перечисленных понятий является сложным для воеприятия учащимися. Это прямым образом влияет на процесс усвоения понятия самого многогранника.

Одним из недостатков данного учебного пособия является тот факт, что многогранник не является частью системы всех изучаемых геометрических понятий, непонятна цель его введения. Определения призмы и пирамиды не содержат его в качестве родового понятия. Определения данных многогранников вводятся с помощью отрезков. Так, например, пирамида определяется как объединение всех отрезков вида SM, у которых.

М принадлежит данному многоугольнику. Предварительно на плоскости задается многоугольник и некоторая точка S, не принадлежащая плоскости этого многоугольника. Данное определение является конструктивным и представляет интерес для нашего исследования. Хотя введение абстрактной точки М в определение, по нашему мнению, затрудняет его восприятие студентами. С помощью векторов автор излагает перпендикулярность прямых и плоскостей, вводит понятия многогранников, тел вращения.

На наш взгляд, это придает некую искусственность изучаемым понятиям. Первичными в указанном пособии являются определения цилиндра и конуса. Многогранники являются частным случаем данных тел вращения.

В учебном пособии, например, дается определение: Таким образом, определение призмы оказывается слишком громоздким с точки зрения количества других используемых в нем понятий. Погорелова можно найти определение цилиндра с помощью отрезков. Возьмем произвольный круг к в плоскости. Проведем через произвольную. X описывает круг, отрезки ах заполняют некоторое тело. Давая только определение кругового цилиндра, автор намеренно сужает класс фигур, называющихся цилиндрами.

Определение в пособии [], содержащее фактически тот же способ получения цилиндра, выглядит компактнее, но использует дополнительное понятие - понятие вектора, равного данному. На плоскости рассматривается ограниченная фигура D и некоторый вектор а, не параллельный плоскости фигуры. В новом пособии А. Дадаяна [66] для средних специальных образовательных учреждений методика изложения стереометрического материала принципиально не изменилась, хотя в нем имеется несколько конструктивных определений.

На наш взгляд, это определение является слишком громоздким, что затрудняет процесс формирования представлений о многогранной поверхности. Многогранником автор называет объединение замкнутой многогранной поверхности и ее внутренней области.

Таким образом, возникает необходимость введения еще двух понятий. В учебнике по математике для студентов учебных учреждений среднего профессионального образования И. Д Пехлецкого понятие многогранника вводится следующим образом. В соответствии с данным пособием, призма и пирамида - это только выпуклые многогранники. Подводя итоги вышесказанному, можно отметить следующие недостатки в существующих методиках определения понятия многогранника: Эти недостатки мы старались устранить в своем исследовании.

Введение данных определений, по нашему мнению, требует тщательной подготовительной работа еще при изучении свойств неопределяемых понятий. В перечисленных учебных пособиях эта работа не предполагается, поэтому вводимые определения являются для учащихся формальными и не убедительными, не раскрывают общих закономерностей геометрии. Здесь также можно отметить искусственное сужение представлений учащихся о видах геометрических фигур посредством введения только прямых круговых цилиндров, конусов и.

В своей методике мы используем два вида конструктивных определений пространственных фигур: Опишем методические особенности работы преподавателя по введению каждого из указанных видов определений. Конструктивное определение фигуры можно формулировать посредством проведения аналогии между способом получения плоской фигуры и соответствующей ей пространственной фигуры.

Студенты, имея модели многогранников, эмпирически могут убедиться, что фигура, составленная из многогранников, прилегающих друг к другу по граням или кускам граней, сама оказывается многогранником. Аналогично, фигура, составленная из многоугольников, прилегающих друг к другу по сторонам или их частям, сама является многоугольником.

знакомство с пространственными фигурами

Так можно из простых многогранников и многоугольников составлять сколь угодно сложные формы этих фигур. Для конструктивного определения многоугольника и многогранника мы используем формулировки, данные Александровым А. Необходимыми условиями для эффективного усвоения понятия многогранника студентами колледжа, на наш взгляд, являются: Формирование у студентов системы представлений о части фигуры, пересечении и объединении фигур как способах получения новых геометрических объектов является частью работы, уже описанной нами в первой части данного параграфа.

Посредством проведения аналогии студенты могут переносить знания, полученные при исследовании одного объекта, на. Работу по использованию метода аналогии при обучении учащихся решению задач В. Далингер [67] описывает тремя этапами: При изучении основных геометрических фигур точки, прямой и плоскости и их свойств необходимо часто ставить студентов в ситуации, требующие от них сопоставления случаев плоскости и пространства, поиска фигуры плоской или пространственнойна которую можно было бы перенести полученные результаты.

А с учетом огромного потенциала для развития личности, заложенного в пространственной геометрии, становится ясным, насколько важно знакомить учащихся с пространственными формами уже в рамках девятилетней школы. В-третьих, необходимо учитывать достижения в области физиологии, когда в году американским ученым П. Спери была открыта функциональная асимметрия головного мозга.

Исследования ученых показали, что правое образное полушарие имеет тенденцию наиболее интенсивно развиваться в определенные периоды онтогенеза, и эти периоды приходятся на младший возраст; что правое полушарие имеет тенденцию подавляться левым словесным полушарием, особенно при нашей системе раннего обучения письму и счету и невнимании к генетически заложенным возможностям этого полушария.

Таким образом, чрезвычайно остро встает задача гармонизации деятельности правого и левого полушарий головного мозга, образного и логического компонентов в мышлении. Геометрии в плане решения данной задачи отводится исключительная роль, которая связана с вышеуказанным геометрическим методом, основанном, прежде всего на наглядности.

Огромная роль в развитии образного мышления принадлежит именно геометрии в пространстве. В-четвертых, психологические и педагогические исследования показывают: В-пятых, в настоящее время интенсивно разрабатываются различные программы и варианты учебников по математике для начальной школы, в которых все больше геометрического материала вообще, и среди этого материала все больше появляются свойства фигур в пространстве В.

Это также серьезным образом ставит на повестку дня разработку в рамках основной школы курса геометрии, где бы плоские и пространственные фигуры изучались совместно, так как было бы не разумно отбросить все эти попытки эксперименты подтверждают их успешность и перейти к изучению свойств только плоских фигур.

Кроме того, необходимо учитывать и такое обстоятельство. Большинство вышеназванных исследований по методике преподавания геометрии проводились либо в рамках совершенствования методики преподавания геометрического материала в начальной школе, либо идеи фузионизма в них рассматривались через призму развития пространственных представлений учащихся средствами геометрии.

В связи с чем, данные исследования не ставили перед собой в качестве приоритетной задачу создания курса геометрии основной школы, построенного на идеях фузионизма, а значит, и проблема разработки методики раннего взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур в данных работах не рассматривается. Таким образом, вышеизложенное указывает на существование противоречия между потребностью в разработке курса геометрии основной школы, построенного на идее взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур, с одной стороны, и отсутствием эффективной методики реализации этой идеи на практике - с другой, что и определяет актуальность настоящего исследования.

Проблема исследования заключается в выявлении условий и методических особенностей реализации идеи взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур в младших классах основной школы. В качестве объекта исследования нами выбран процесс обучения геометрии, построенный на идее фузионизма, а предмета исследования - процесс взаимосвязанного формирования у учащихся классов представлений о свойствах плоских и пространственных фигур при изучении геометрического материала.

Целью исследования является разработка методики взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур в классах основной школы. В соответствие с целью исследования и теоретическим анализом проблемы можно сформулировать следующую гипотезу - разумное сочетание образных, логических и интуитивных путей познания в процессе обучения, широкое использование таких методов изучения действительности как наблюдение, опыт, сравнение, аналогия, индукция, целенаправленная работа по следующим направлениям: Для решения поставленной проблемы и проверки выдвинутой гипотезы предполагалось решить следующие задачи: Для решения поставленных задач применялись различные методы: Научная значимость и новизна исследования состоит в том, что: Получено экспериментальное подтверждение гипотезы об условиях эффективного применения идеи взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур при изучении геометрического материала в классах основной школы.

Практическая значимость данного исследования заключается б разработке дидактических материалов и методики их использования, что позволяет учителям математики проводить эффективную работу по изучению геометрического материала, построенного на идее взаимосвязанного изучения плоских и пространственных фигур, Результаты исследования могут быть использованы не только в практике работы школ, но и в процессе совершенствования школьных учебников математики и учебно-методических пособий, в системе повышения квалификации учителей, а также в методической подготовке студентов педагогических вузов.

Обоснованность и достоверность положений и выводов диссертационного исследования обеспечена опорой на анализ опыта реализации идей фузйонизма в практике преподавания школьного курса геометрии, психолого-педагогических и методических исследований, связанных с проблемой данного исследования, использование современных научных методов педагогического исследования.

Правильность рабочей гипотезы и разработанных в диссертации положений были подтверждены в ходе педагогического эксперимента, проведенного в ряде школ г. Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения диссертационного исследования и его результаты докладывались на научно-методических семинарах кафедры геометрии и МПМ КГПУ гг.

Развитие пространственных представлений учащихся

Ленина, научно-практических конференциях учителей школ города Курскагг. Курска, а педагогический опыт диссертанта по реализации данной методики получил обобщение на уровне городского методического центра г. Основные положения и результаты данного исследования отражены в 8 публикациях. Логика исследования и последовательность этапов экспериментальной работы определили следующую структуру диссертации.

Конспект урока в 1 классе по математике "Плоские геометрические фигуры"

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии и приложения. В процессе анализа психолого-педагогической литературы по проблеме исследования, изучения опыта реализации идей фузионизма в преподавании геометрии установлено, что: На основе вышеуказанных педагогических условий реализации идей взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур сформулированы и обоснованы основные направления взаимосвязанного изучения свойств плоских и пространственных фигур в классах основной школы.

В качестве данных основных направлений предложены: Взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур, связанных с взаимным расположением фигур и их элементов. Взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур, связанных с проблемами их изображения на плоскости. Взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур, связанных с измерениями расстояний.

В первом направлении выделены следующие этапы: По второму направлению предложены следующие этапы: По третьему направлению выделены этапы: По четвертому направлению разработана следующая структура рассмотрения вопросов: В этих задачах, как правило, приходится одновременно думать о развертке и о самом многограннике; 5 рассмотрение задач, в которых развертка используется как аппарат решения, например, в задачах на вычисление расстояний на поверхностях многогранников.

По каждому направлению и этапу внутри направлений разработана и экспериментально апробирована система упражнений см. Проведена экспериментальная проверка разработанной методики в пятых и шестых классах школ г. Установлено, что применение разработанной методики оказалось доступной для большинства обучаемых и что использование разработанных дидактических материалов позволяет осуществлять взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных фигур в классах основной школы.

Таким образом, можно сделать вывод, что цель, стоящая перед данным диссертационным исследованием, выполнена. Ученые записки ЛЯ. Геометрия для классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Материалы совещания по психологии. Особенности восприятия пространства у детей. Некоторые вопросы построения курса геометрии в средней школе: Задачник по наглядной геометрии.

Учебник для классов средней школы. Вопросы стереометрии в восьмилетней школе. С приложениям главы "Методика преподавания "Наглядной геометрии" АМ. Психология усвоения знаний в школе.

Конспект урока в 1 классе по математике "Плоские геометрические фигуры"

Новые исследования в психологии, Особенности оперирования учащимися разными видами графических изображений. Методика преподавания математики в средней школе. Развитие пространственных представлений учащихся при изучении геометрического материала в классах: Динамика осязательного восприятия пространства. К проблеме осязательного восприятия. Экспериментальное обоснование системы и методики. Вопросы оформирования и развития пространственных представлений и пространственного воображения учащихся.

Восприятие предмета и рисунка. Вопросы формирования и развития пространственных представлений и воображения: О слиянии планиметрии и стереометрии. Особенности методики формирования и развития пространственных представлений учащихся старших классов вечерней школы в процессе обучения геометрии.

Развитие пространственных представлений у детей в начальной школе. Методы обучения и умственное развитие ребенка. Геометрические сведения в курсе арифметики классов семилетней и средней школы: Преподавание геометрии на основании самодеятельности учащихся. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии. Методы формирования и развития пространственных представлений взрослых в процессе обучения геометрии в школе: Учебное пособие для старших классов общеобразовательных и среднеспециальных учебных заведений.

История математики в школе. Геометрия в классах в модели "Экология и диалектика". Методика преподавания курса "Геометрия ".

Психологические возможности младших школьников в усвоении понятий. Виды обобщения в обучении. Доклады, читанные на II Всероссийском съезде преподавателей математики в Москве. Фузионизм в системе преподавания геометрии в средней школе: Формирование геометрических представлений и развитие пространственного воображения учащихся: Закон Российской Федерации "Об образовании".

НП "Новая школа", Наглядность и активизация учащихся в обучении. Развитие учащихся в процессе обучения. Формирование пространственных представлений у младших школьников при изучении геометрического материала: Изучение наглядной геометрии в курсе математики классов: О некоторых особенностях изучения представлений ивоображения.